Question

（2003•北京）有三個新興城鎮(zhèn)分別位于A、B、C三點處，且AB=AC=a，BC=2b，今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處（建立坐標系如圖）．
（Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，則P應位于何處？

Answer 1

分析：（I）設出P的坐標，表示出P至三鎮(zhèn)距離的平方和，利用配方法，可得結(jié)論；
（II）記h=

a2-b2

，表示出P至三鎮(zhèn)的最遠距離，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題設條件a＞b＞0，設P的坐標為（0，y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y)=2(b2+y2)+(

a2-b2

-y)2=3y2-2

a2-b2

y+a2+b2
所以，當y=

a2-b2

3

時，函數(shù)f（y）取得最小值．
答：點P的坐標是(0，

a2-b2

3

)
（Ⅱ）記h=

a2-b2

P至三鎮(zhèn)的最遠距離為g(x)=

b2+y2 ，當 b2+y2 ≥|h-y| |h-y|，當 b2+y2 ＜|h-y|.

由

b2+y2

≥|h-y|解得y≥

h2-b2

2h

，記y*=

h2-b2

2h

，
于是g(x)=

b2+y2 ，當y≥y* |h-y|，當y＜y*.

當y*=

h2-b2

2h

≥0，即h≥b時，
因為

b2+y2

在[y^*，+∞）上是增函數(shù)，而|h-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)．
所以y=y^*時，函數(shù)g（y）取得最小值．點P的坐標是(0，

h2-b2

2h

)
當y*=

h2-b2

2h

＜0，即h＜b時，因為

b2+y2

在[y^*，+∞）上當y=0函數(shù)g（y）取得最小值b，而|h-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)，且|h-y|＞b，所以y=0時，函數(shù)g（y）取得最小值．
答：當h≥b時，點P的坐標是(0，

h2-b2

2h

)；當h＜b時，點P的坐標是（0，0），其中h=

a2-b2

點評：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．