（2003•北京）有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=13km，BC=10km．今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，（建立坐標系如圖）
（Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，點P應位于何處？
分析：（I）設P的坐標為（0，y），表示出P至三鎮(zhèn)距離的平方和，利用配方法，即可得到建立；
（II）P至三鎮(zhèn)的最遠距離為g(x)=
25+y2
，當
25+y2
≥|12-y|
|12-y|，當
25+y2
＜|12-y|.

解法一：確定函數(shù)的單調性，即可求最值，從而可得點P的坐標；
解法二：作出函數(shù)的圖象，結合圖象，可得結論；
解法三：結合圖形，分類討論，確定點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最小．
解答：解：（Ⅰ）設P的坐標為（0，y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f（y）=2（25+y2）+（12-y）2=3（y-4）2+146．
所以，當y=4時，函數(shù)f（y）取得最小值．
答：點P的坐標是（0，4）．
（Ⅱ）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為g(x)=
25+y2
，當
25+y2
≥|12-y|
|12-y|，當
25+y2
＜|12-y|.

由
25+y2
≥|12-y|解得y≥
119
24
，記y*=
119
24
，于是g(x)=
25+y2
，當y≥y*
|12-y|，當y＜y*.

因為
25+y2
在[y*，+∞）上是增函數(shù)，而|12-y|在（-∞，y*]上是減函數(shù)．
所以y=y*時，函數(shù)g（y）取得最小值．
答：點P的坐標是(0，
119
24
)；
解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 g(x)=
25+y2
，當
25+y2
≥|12-y|
|12-y|，當
25+y2
＜|12-y|.

由
25+y2
≥|12-y|解得y≥
119
24
，記y*=
119
24
，于是g(x)=
25+y2
，當y≥y*
|12-y|，當y＜y*.

函數(shù)x=g（y）的圖象如圖（a），
因此，當y=y*時，函數(shù)g（y）取得最小值．
答：點P的坐標是(0，
119
24
)；
解法三：因為在△ABC中，AB=AC=13，且，
AC2-OC2
=12＞5=OC，∠ACB=
π
4
，如圖(b)．
所以△ABC的外心M在線段AO上，其坐標為(0，
119
24
)，且AM=BM=CM．
當P在射線MA上，記P為P1；
當P在射線MA的反向延長線上，記P為P2，這時P到A、B、C三點的最遠距離為P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最�。�
答：點P的坐標是(0，
119
24
)；
點評：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
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（2003•北京）某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人．全班k名同學都有選舉權和被選舉權，他們的編號分別為1，2，…，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權）按“0”，令aij=
1，第i號同學同意第j號同學當選.
0，第i號同學不同意第j號同學當選.
其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，則同時同意第1，2號同學當選的人數(shù)為（　�。�

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（2003•北京）設y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否滿足題設條件；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2003•北京）有三個新興城鎮(zhèn)分別位于A、B、C三點處，且AB=AC=a，BC=2b，今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處（建立坐標系如圖）．
（Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，則P應位于何處？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2003•北京）設y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件，①f（-1）=f（1）=0，②對任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）證明：對任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）證明：對任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù)y=f（x）且使得
|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
，1]
；若存在請舉一例，若不存在，請說明理由．

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