Question

1．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxcosx，求：
（I）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的最大值與最小值，以及相應(yīng)的x．

Answer 1

分析 （I）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得它的最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值與最小值，以及相應(yīng)的x．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
故f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）對(duì)于f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z時(shí)，
函數(shù)f（x）取得最大值為$\sqrt{2}$+1．
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{3π}{8}$，k∈Z時(shí)，
函數(shù)f（x）取得最小值為-$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．