Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a＞-1）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)f（x）的最小值為g（a），若g（a）＜t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a＞-1）的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)a的范圍對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有影響，對(duì)參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（Ⅰ）的結(jié)論，求出g（a）的表達(dá)式，由于g（a）＜t恒成立，故求出g（a）的最大值，即得實(shí)數(shù)t的取值范圍的左端點(diǎn)．

解答：解：（1）f′（x）=a-

a+1

x+1

=

ax-1

x+1

（x＞-1），…（1分）
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-

1

x+1

＜0，所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，+∞），無增區(qū)間；
當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=

a(x- 1 a )

x+1

，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞

1

a

，由f′（x）＜0得-1＜x＜

1

a

，
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，

1

a

），增區(qū)間為（

1

a

，+∞），；
若-1＜a＜0，此時(shí)

1

a

≤-1，所以f′（x）=

a(x- 1 a )

x+1

＜0，
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，+∞），無增區(qū)間；
綜上，當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，+∞），無增區(qū)間，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-1，

1

a

），增區(qū)間為（

1

a

，+∞），．…（6分）
（2）由（Ⅰ）得，g（a）=f（

1

a

）=1-（a+1）ln（

1

a

+1），…（7分）
因?yàn)閍＞0，所以g（a）＜t?

g(a)

a

-

t

a

＜0?

1

a

-(1+

1

a

)ln(1+

1

a

) -

t

a

＜0，
令h（x）=x-（1+x）ln（1+x）-tx，（x＞0），則h（x）＜0恒成立，
由于h′（x）=-ln（1+x）-t，
當(dāng)t≥0時(shí)，h′（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
所以h（x）＜h（0）=0成立；…（10分）
當(dāng)t＜0時(shí)，若h′（x）＞0，得0＜x＜e^-t-1，
故函數(shù)h（x）在（0，e^-t-1）上是增函數(shù)，
即對(duì)0＜x＜e^-t-1，h（x）＞h（0）=0，與題意不符；
綜上，t≥0為所求．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個(gè)求函數(shù)的最值的問題，此類題運(yùn)算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時(shí)極易因?yàn)樽冃闻c運(yùn)算出錯(cuò)，故做題時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)．