Question

已知首項(xiàng)都是1的數(shù)列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）滿足a_nb_n+1-a_n+1bn+3b_nb_n+1=0
（I）令C_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₃²=4b₂•b₆，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由首項(xiàng)都是1的數(shù)列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）滿足a_nb_n+1-a_n+1bn+3b_nb_n+1=0，兩邊都除以b_nb_n+1，
可得

an

bn

-

an+1

bn+1

+3=0，c_n+1-c_n=3．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）由于數(shù)列{b_n}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₃²=4b₂•b₆，兩條等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出q=

1

2

，b_n．
可得a_n=b_nc_n=

3n-2

2n-1

．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵首項(xiàng)都是1的數(shù)列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*）滿足a_nb_n+1-a_n+1bn+3b_nb_n+1=0，
∴

an

bn

-

an+1

bn+1

+3=0，即

an+1

bn+1

-

an

bn

=3，c_n+1-c_n=3．
∴數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)c₁=1，公差d=3．
∴c_n=c₁+（n-1）d=3n-2．
（II）∵數(shù)列{b_n}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₃²=4b₂•b₆，
∴

b

2 1

q4=4×b1q×b1q5，
∴4q²=1，q＞0，解得q=

1

2

．
∴bn=

1

2n-1

．
∴a_n=b_nc_n=

3n-2

2n-1

．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1+

4

2

+

7

22

+…+

3n-2

2n-1

，

1

2

Sn=

1

2

+

4

22

+

7

23

+…+

3n-5

2n-1

+

3n-2

2n

，
∴

1

2

Sn=1+

3

2

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n-2

2n

=1+3×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-2

2n

=4-

3

2n-1

-

3n-2

2n

，
∴S_n=8-

6n+8

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．