設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1，a2=2，an+2=
an(
a
2
n+1
+1)
a
2
n
+1
(n≥1，n∈N*）．
（1）求an+1與an之間的遞推關(guān)系式an+1=f（an）；
（2）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，2＜an2-an-12≤3；
（3）求a2011的整數(shù)部分．
分析：（1）對(duì)an+2=
an(
a
2
n+1
+1)
a
2
n
+1
(n≥1，n∈N*）變形化簡(jiǎn)得
an+2
an+1+
1
an+1
=
an+1
an+
1
an
．將其迭代，利用a1=1，a2=2可以得到an+1與an之間的遞推關(guān)系式；
（2）由于數(shù)列遞增，所以對(duì)一切n≥1，有an≥1成立，從而0＜
1
 an2
≤1．又當(dāng)n≥2時(shí)，
a
2
n
=(an-1+
1
 an-1
)2=
a
2
n-1
+
1
 
a
2
n-1
+2，所以有
a
2
n
-
a
2
n-1
=
1
a
2
n-1
+2，從而問(wèn)題得證．
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，
a
2
n
=
a
2
n-1
+
1
a
2
n-1
+2，
a
2
n
=
1
 
a
2
n-1
+…+
1
 
a
2
1
+2(n-1)．
a
2
2011
=
1
a
2
2010
+…+
1
a
2
1
+2(2011-1)＞4020＞3969=632
又當(dāng)n≥3時(shí)，有an2＞2n，從而
a
2011
2
=
1
a
2010
2
+…+
1
a
1
2
+2(2011-1)=4020+
1
a
1
2
+…+
1
a
2010
2
＜4096，從而可解．
解答：解：（1）易知，對(duì)一切n≥1，an≠0．由an+2=
an(
a
2
n+1
+1)
a
2
n
+1
可知：
an+2an+1
a
2
n+1
+1
=
anan+1
a
2
n
+1
，
整理得
an+2
an+1+
1
an+1
=
an+1
an+
1
an
．
依次利用上述關(guān)系式，可得
an+1
an+
1
an
=
an
an-1+
1
an-1
=
an-1
an-2+
1
an-2
=…=
a2
a1+
1
a1
=
2
1+
 1 
1
=1，
從而an+1=an+
1
an
．
（2）由a1=1及an+1=an+
1
an
可知數(shù)列遞增，則對(duì)一切n≥1，有an≥1成立，從而0＜
1
 an2
≤1．
當(dāng)n≥2時(shí)，
a
2
n
=(an-1+
1
 an-1
)2=
a
2
n-1
+
1
 
a
2
n-1
+2，于是
a
2
n
-
a
2
n-1
=
1
a
2
n-1
+2，所以  2＜an2-an-12≤3．
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，
a
2
n
=
a
2
n-1
+
1
a
2
n-1
+2，
a
2
n
=
1
 
a
2
n-1
+…+
1
 
a
2
1
+2(n-1)．
a12=1，a22=4，a32＞6，則當(dāng)n≥3時(shí)，有an2＞2n，
a
2
2011
=
1
a
2
2010
+…+
1
a
2
1
+2(2011-1)＞4020＞3969=632，
a
2
2011
=
1
 
a
2
2010
+…+
1
 
a
2
1
+2(2011-1)=4020+
1
a
2
1
+…+
1
a
2
2010
＜4020+
1
1
+
1
4
+
1
6
+…+
1
2×2010

=4021+
1
2
(
1
2
+
1
3
+…+
1
2010
)=4021+
1
2
[(
1
2
+
1
3
+…+
1
39
)+(
1
40
+…+
1
199
)+(
1
200
+…+
1
2010
)]＜4021+
1
2
[(
1
2
+…+
1
2
)+(
1
40
+…+
1
40
)+(
1
200
+…+
1
200
)]
=4021+
1
2
[
1
2
×38+
1
40
×160+
1
200
×1811]＜4021+
1
2
[19+4+10]＜4038＜4096=642．
所以63＜a2011＜64，即a2011的整數(shù)部分為63．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合，技巧性強(qiáng)，難度大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c為實(shí)數(shù)
（1）證明：an∈[0，1]對(duì)任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設(shè)0＜c＜
1
3
，證明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）設(shè)0＜c＜
1
3
，證明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，當(dāng)x1、x2∈R且x1+x2=1時(shí)，總有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1對(duì)任意n∈N*成立，求實(shí)數(shù)c的范圍．（理科做，文科不做）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求證：數(shù)列{an-
1
2
}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)n∈N*，不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，把Dn內(nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排列成點(diǎn)列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求證：n≥2時(shí)，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的條件下，比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)與4的大�。�

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同步練習(xí)冊(cè)答案