Question

已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）判斷函數(shù)F（x）=f（x）-4在定義域上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）設(shè)h(x)=log4(a•2x-

3

4

a)，若函數(shù)f（x）與h（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)換元，令令t=4^x+1，可求得函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)x₁＜x₂，作差F（x₁）-F（x₂）=log4

1+4x1

1+4x2

，利用函數(shù)的性質(zhì)判斷其符合小于0，從而可證函數(shù)F（x）=f（x）-x在定義域上為增函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）與h（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?方程log4(4x +1)=log4(a•2x-

3

4

a)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根?4^x+1=（a•2^x-

3

4

a）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令t=2^x＞0，解關(guān)于t的方程t²-at+

3

4

a+1=0（有且只有一個(gè)正根）即可．

解答：解：（1）令t=4^x+1，
∵4^x＞0，
∴t＞1，
∴y=log₄t＞0，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）．…（2分）
（2）∵F（x）=f（x）-4的定義域?yàn)镽，
∴對(duì)任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則F（x₁）-F（x₂）=log4(4x1+1)-4-[log4(4x2+1)-4]
=log4

1+4x1

1+4x2

，
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴4x1＜4x2，
∴0＜4x1+1＜4x2+1，從而

4x1+1

4x2+1

＜1，
∴log4

1+4x1

1+4x2

＜0，故F（x₁）-F（x₂）＜0，
即F（x₁）＜F（x₂），
所以函數(shù)F（x）=f（x）-x在定義域上為增函數(shù)．…（4分）
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與h（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
即方程log4(4x +1)=log4(a•2x-

3

4

a)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴4^x+1=（a•2^x-

3

4

a）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴（2^x）²+1=（a•2^x-

3

4

a），即（2^x）²-a•2^x+

3

4

a+1=0．
令t=2^x＞0，則關(guān)于t的方程t²-at+

3

4

a+1=0（*）有且只有一個(gè)正根．                            …（6分）
則方程（*）的兩根異號(hào)或有兩個(gè)相等的正根．
∴

△=0 a 2 ＞0

或

3

4

a+1＜0，
∴a=4或a＜-

4

3

；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a=4或a＜-

4

3

}．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查換元思想與方程思想，考查函數(shù)單調(diào)性的定義，考查推理與運(yùn)算能力，屬于難題．