Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（x-$\frac{π}{4}$），2cos（x-$\frac{π}{4}$）），$\overrightarrow{n}$=（sin（x+$\frac{π}{4}$），$\sqrt{3}$cos（x-$\frac{π}{4}$）），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\sqrt{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時相應(yīng)的x的集合；
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且滿足a=2$\sqrt{7}$，b+c=6，f（A）=-1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)向量的數(shù)量積運算，得到f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），然后結(jié)合正弦函數(shù)的最值求解即可，
（2）根據(jù)（1），得到A=$\frac{2π}{3}$，然后，根據(jù)余弦定理，得到bc=12，然后，結(jié)合三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（x-$\frac{π}{4}$），2cos（x-$\frac{π}{4}$）），$\overrightarrow{n}$=（sin（x+$\frac{π}{4}$），$\sqrt{3}$cos（x-$\frac{π}{4}$）），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\sqrt{3}$
=2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x-$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$
=2（sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$）（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}[1+cos（2x-\frac{π}{2}）]$-$\sqrt{3}$
=2×$\frac{1}{2}$（sin²x-cos²x）+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時，函數(shù)有最大值2，
此時x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，此時取值集合為：{x|x=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}，
（2）∵f（A）=-1，
∴2sin（2A-$\frac{π}{6}$）=-1，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，
∴2A=$\frac{4π}{3}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
∵a=2$\sqrt{7}$，b+c=6，
∴根據(jù)余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA
即a²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{2π}{3}$
∴28=36-bc，
∴bc=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=3$\sqrt{3}$．

點評 本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換公式、輔助角公式、三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．