Question

如圖，直角梯形MCDE中，EM∥DC，ED⊥DC，B是EM上一點，CD=BM=

2

CM=2，EB=ED=1，沿BC把△MBC折起，使平面MBC⊥平面BCDE，得出右側(cè)的四棱錐A-BCDE．
（1）證明：平面EAD⊥平面ACD；
（2）求二面角E-AD-B的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）過B作BH⊥CD于H，由勾股定理得AC⊥BC，平面ABC⊥平面BCDE，得AC⊥DE，又CD⊥DE，由此能證明平面EAD⊥平面ACD．
（2）以D為原點，分別以DE，DC為x軸，y軸，建立空間直角坐標系D-xyz，由此利用向量法能求出二面角E-AD-B的大�。�

解答： （1）證明：過B作BH⊥CD于H，則CH=BH=1，
∴BC=

2

，又AC=

2

，AB=2，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，而平面ABC⊥平面BCDE，
∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥DE，
又CD⊥DE，∴DE⊥平面ACD，
又DE?平面ADE，∴平面EAD⊥平面ACD．
（2）解：以D為原點，分別以DE，DC為x軸，y軸，
建立空間直角坐標系D-xyz，
由題意D（0，0，0），E（1，0，0），C（0，2，0），
A（0，2，

2

），B（1，1，0），

AD

=（0，-2，-

2

），

AE

=（1，-2，-

2

），

DB

=（1，1，0），
設平面ADE的法向量

m

=（x，y，z），平面ABD的法向量

n

=（a，b，c），
由

m • AD =-2y- 2 z=0 m • AE =x-2y- 2 z=0

，取z=

2

，得

m

=（0，-1，

2

），
同理，

n

=（1，-1，

2

），
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

m ， n

| m |•| n |

|=

3

3 ×2

=

3

2

，
由題意知二面角E-AD-B的平面角是銳角，
∴二面角E-AD-B的大小是

π

6

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，涉及到線面垂直、面面垂直、勾股定理、向量法等知識點的合理運用，是中檔題．