Question

1．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，現(xiàn)將△ABD沿BD翻折至△A′BD，使二面角A′-BD-C的大小為60°，求CD和平面A′BD所成角的余弦值是$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件先判斷∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角，從而△A′OC為等邊三角形，根據(jù)線面所成角的定義得到∠CDE是CD和平面A′BD所成的角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：連接AC交B于O，連接OA′，
∵ABCD是菱形，
∴OC⊥BD，A′O⊥BC，
即∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角，
即∠A′OC=60°，
連接A′C，則△A′OC為等邊三角形，
則平面A′OC⊥平面ABCD，
取A′O的中點(diǎn)E，連接CE，
則CE⊥A′O，且CE⊥平面A′BD，
連接DE，則∠CDE是CD和平面A′BD所成的角，
∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴BD=6，AO=OC=A′O=$\sqrt{3}$，
則OE=$\frac{1}{2}A′O=\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD=1，
則DE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
則cos∠CDE=$\frac{DE}{CD}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{2}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間二面角和直線和平面所成角的應(yīng)用，根據(jù)空間角的定義尋找二面角和直線和平面所成的角是解決本題的關(guān)鍵．