Question

已知，中心在坐標原點的橢圓C，經(jīng)過點A（2，3）且F（2，0）為其右焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若平行于OA的直線l與橢圓有公共點，求直線l在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）依題意設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得

c=2 2a=|AF|+|AF′|=3+5=8

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）平行于OA的直線l的方程為y=

3

2

x+b，聯(lián)立

y= 3 2 x+b x2 16 + y2 12 =1

，得3x²+3bx+b²-12=0，由此利用根的判別式能求出直線l在y軸上的截距的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
且可知左焦點為F′（-2，0），
|AF|=

(2-2)2+(3-0)2

=3，
|AF′|=

(-2-2)2+(3-0)2

=5，
從而有

c=2 2a=|AF|+|AF′|=3+5=8

，
解得a=4，c=2，
又a²=b²+c²，所以b²=12，
故橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）∵k_OA=

3-0

2-0

=

3

2

，∴平行于OA的直線l的方程為y=

3

2

x+b，
聯(lián)立

y= 3 2 x+b x2 16 + y2 12 =1

，得3x²+3bx+b²-12=0，
∵平行于OA的直線l與橢圓有公共點，
∴△=9b²-12（b²-12）≥0，
解得-4

3

≤b≤4

3

，
∴直線l在y軸上的截距的取值范圍是[-4

3

，4

3

]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線在y軸上的截距的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．