Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+5x，其中實數(shù)a＞0．
（Ⅰ）當a=3時，求不等式f（x）≥4x+6的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-2}，求a的值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=|2x-3|+5x，通過對x取值范圍的分類討論，去掉不等式中的絕對值符號，再解不等式f（x）≥4x+6即可求得其解集；
（Ⅱ）法一：（從去絕對值的角度考慮）通過對x取值范圍的分類討論，去掉不等式中的絕對值符號，解相應(yīng)的不等式，最后取并即可；
法二：（從等價轉(zhuǎn)化角度考慮），|2x-a|≤-5x，此不等式化等價于5x≤2x-a≤-5x，易解得

x≤- a 3 x≤ a 7 .

，不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-2}，從而可求得a的值

解答： 解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）≥4x+6可化為|2x-3|≥-x+6，2x-3≥-x+6或2x-3≤x-6．
由此可得x≥3或x≤-3．
故不等式f（x）≥4x+6的解集為{x|x≥3或x≤-3}．…（5分）
（Ⅱ）法一：（從去絕對值的角度考慮）
由f（x）≤0，得|2x-a|≤-5x，此不等式化等價于

x≥ a 2 2x-a+5x≤0.

或

x＜ a 2 -(2x-a)+5x≤0.

解之得

x≥ a 2 x≤ a 7 .

或

x＜ a 2 x≤- a 3 .

因為a＞0，所以不等式組的解集為{x|x≤-

a

3

}，由題設(shè)可得-

a

3

=-2，故a=6．…（10分）
法二：（從等價轉(zhuǎn)化角度考慮）
由f（x）≤0，得|2x-a|≤-5x，此不等式化等價于5x≤2x-a≤-5x，
即為不等式組

5x≤2x-a 2x-a≤-5x.

解得

x≤- a 3 x≤ a 7 .

因為a＞0，所以不等式組的解集為{x|x≤-

a

3

}，由題設(shè)可得-

a

3

=-2，故a=6．…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查通過對x取值范圍的分類討論，去掉不等式中的絕對值符號，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一次不等式來解，屬于中檔題．