Question

8．過半徑為2的圓外一點P作圓的兩條切線PA，PB，切點分別為A、B，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值$8\sqrt{2}$-12．

Answer 1

分析 可作出圖形，設(shè)PA=PB=x，∠APO=α，從而可以得到sin$α=\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，cos$∠APB=cos2α=1-\frac{8}{{x}^{2}+4}$，這樣便可得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x}^{2}-\frac{8{x}^{2}}{{x}^{2}+4}$=$（{x}^{2}+4）+\frac{32}{{x}^{2}+4}-12$，這樣由基本不等式即可得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：如圖所示：設(shè)PA=PB=x，∠APO=α，OA⊥AP，則：

OP=$\sqrt{O{A}^{2}+A{P}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+4}$，sinα=$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$；
∴cos∠APB=cos2α=1-2sin²α=$1-\frac{8}{{x}^{2}+4}$；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|cos∠APB$=${x}^{2}（1-\frac{8}{{x}^{2}+4}）={x}^{2}-\frac{8（{x}^{2}+4）-32}{{x}^{2}+4}$=$（{x}^{2}+4）+\frac{32}{{x}^{2}+4}-12$$≥2\sqrt{32}-12=8\sqrt{2}-12$；
∴當(dāng)${x}^{2}+4=\frac{32}{{x}^{2}+4}$，即x=$\sqrt{4\sqrt{2}-4}$時，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$取最小值$8\sqrt{2}-12$．
故答案為：$8\sqrt{2}-12$．

點評 考查圓心和切點的連線垂直于切線，正弦函數(shù)的定義，二倍角的余弦公式，向量數(shù)量積的計算公式，湊成基本不等式求函數(shù)最值的方法，注意判斷等號是否成立．