Question

如圖，在平行四邊形OABC中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是（3，0）、（1，3），點(diǎn)D是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求AB所在直線的一般式方程；
（2）當(dāng)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）求出AB所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出AB所在的直線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x₀，y₀），利用平行四邊形，推出M與D坐標(biāo)關(guān)系，利用當(dāng)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，求線段CD的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直線的斜率為：K_AB=K_OC=3．
∴AB所在直線方程是y-0=3（x-3），即3x-y-9=0．
（2）：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x₀，y₀），
由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，6），
∵M(jìn)是線段CD的中點(diǎn)，∴x=

x0+1

2

，y=

y0+3

2

，
于是有x₀=2x-1，y₀=2y-3，
∵點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
∴3x₀-y₀-9=0，（3≤x₀≤4），
∴3（2x-1）-（2y-3）-9=0
即6x-2y-9=0，（2≤x≤

5

2

）．

點(diǎn)評：本題考查直線方程的求法，與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，確定M與D坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵．