Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，且至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】(I)先確定,然后可寫出點(diǎn)斜式方程再化成一般式即可.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)

………………………………………………2分

曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為即……………………………………4分

（II）轉(zhuǎn)化為不等式在內(nèi)恒成立問題來解決.

令

要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需………………………………6分

即故正實(shí)數(shù)的取值范圍是c……………7分

（III）在上是減函數(shù)，時(shí)，時(shí)，即然后討論p<0和p=0和三種情況來確定f(x)的最大值，本小題實(shí)質(zhì)是滿足.

在上是減函數(shù)，時(shí)，時(shí)，即………………………………………………………………………………9分

①當(dāng)時(shí)，其圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，且，所以在內(nèi)是減函數(shù).當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811055009506027/SYS201209081106208059110693_DA.files/image033.png">所以此時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù).故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減不合題意；               ………………………11分

②當(dāng)時(shí)，由（2）知在上是增函數(shù)，又在上是減數(shù)，故只需而即解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.…………………………………………13分