Question

在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為線段BC的中點(diǎn)，E、F為線段AC的三等分點(diǎn)(如圖①)．將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置，連結(jié)B′C(如圖②)．

圖①

圖②
(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱錐B′-ADC的體積；
(2)記線段B′C的中點(diǎn)為H，平面B′ED與平面HFD的交線為l，求證：HF∥l；
(3)求證：AD⊥B′E.

Answer 1

（1）（2）見解析（3）見解析

(1)解：在直角△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等邊三角形．取AD中點(diǎn)O，連結(jié)B′O，所以B′O⊥AD.因?yàn)槠矫鍭B′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D為BC的中點(diǎn)，所以AC＝，B′O＝.所以S_△ADC＝××1×＝.所以三棱錐B′ADC的體積為V＝×S_△ADC×B′O＝.
(2)證明：因?yàn)镠為B′C的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，所以HF∥B′E.又HF∥平面B′ED，      B′E?平面B′ED，所以HF∥平面B′ED.因?yàn)镠F平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l.
(3)證明：連結(jié)EO，由(1)知，B′O⊥AD.
因?yàn)锳E＝，AO＝，∠DAC＝30°，
所以EO＝.
所以AO²＋EO²＝AE².所以AD⊥EO.
又B′O平面B′EO，EO平面B′EO，B′O∩EO＝O，
所以AD⊥平面B′EO.
又B′E平面B′EO，所以AD⊥B′E.