Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

log2|x-1|   (x≠1) 2        (x=1)

，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0（b，c∈R）恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x_i（i=1，2，3，4，5），則f（

5

i=1

x_i）的值為（　�。�

• A、8
• B、5
• C、4
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)t=f（x），作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，得到t的取值情況，利用對(duì)稱(chēng)性，即可求出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=f（x），則關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0等價(jià)為t²+bt+c=0，
作出f（x）的圖象如圖：
由圖象可知當(dāng)t=2時(shí)，方程f（x）=2有三個(gè)根，當(dāng)t≠2時(shí)方程f（x）=t有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
則等價(jià)為t²+bt+c=0有兩個(gè)根，一個(gè)根t=2，
另外一個(gè)根t≠2，
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根為x₁與x₅，x₁與x₂，分別關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，
則x₃=1，
則x₁+x₅=2，且x₂+x₄=2，
則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2+2+1=5，
則f（

5

i=1

x_i）=f（5）=log₂|5-1|=log₂4=2，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．本題的質(zhì)量相當(dāng)高．