Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$，求f（$\frac{1}{2015}$）+（$\frac{2}{2015}$）+（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）．

Answer 1

分析 計(jì)算f（x）+f（1-x）=1，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$．
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$+$\frac{{{4^{1-x}}}}{{{4^{1-x}}+2}}$=$\frac{4^x}{{{4^x}+2}}$+$\frac{4}{{4+2•{4^x}}}$=1
即f（x）+f（1-x）=1
設(shè)f（$\frac{1}{2015}$）+（$\frac{2}{2015}$）+（$\frac{3}{2015}$）+…+（$\frac{2014}{2015}$）=m，
則f（$\frac{2014}{2015}$）+f（$\frac{2013}{2015}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）=m
等式相加得2014[f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2014}{2015}$）]=2m，
即2m=2014，
則m=1007，
故f（$\frac{1}{2015}$）+（$\frac{2}{2015}$）+（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）=1007．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件證明f（x）+f（1-x）=1是解決本題的關(guān)鍵．