Question

2．已知P（異于原點(diǎn)O）在拋物線y²=4x上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則|PO|：|PF|的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由拋物線的性質(zhì)寫出準(zhǔn)線方程，再由定義得到|PF|=x+1，從而有|PO|：|PF|=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{x+1}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4x}}{x+1}$，令x+1=t（t≥1），轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)，整理配方得到f（t）=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+2t-3}}{t}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，由二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即可得到最大值．

解答 解：∵拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-1，
∴由拋物線的定義可得，|PF|=x+1，
∴|PO|：|PF|=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{x+1}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4x}}{x+1}$，
令x+1=t（t≥1），則上式=f（t）=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+2t-3}}{t}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
于是當(dāng)$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{3}$，即t=3，即x=2，f（t）取最大為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查函數(shù)的最值求法，及配方法，屬于中檔題．