Question

已知數(shù)列{a_n}是首項，公比的等比數(shù)列，設b_n+15log₃a_n=t，常數(shù)t∈N^*，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n．
（1）求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若{c_n}是遞減數(shù)列，求t的最小值；
（3）是否存在正整數(shù)k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比數(shù)列？若存在，求k，t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，，再由，得b₁=-15log₃a₁+t=t+5，由此能夠證明{b_n}是等差數(shù)列．
（2）由b_n=5n+t，知，恒成立，再由是遞減函數(shù)，知當n=1時取最大值，，由此能求出t的最小值．
（3）記5k+t=x，，，，再分情況討論進行求解．
解答：解：（1）由題意知，，（1分）
因為，b₁=-15log₃a₁+t=t+5
∴數(shù)列b_n是首項為b₁=t+5，公差d=5的等差數(shù)列．（4分）
（2）由（1）知，b_n=5n+t，，恒成立，即恒成立，（7分）
因為是遞減函數(shù)，
所以，當n=1時取最大值，，（9分）
因而t＞6.3，因為t∈N，所以t=7．（10分）
（3）記5k+t=x，，，．
①若c_k是等比中項，則由c_k+1•c_k+2=c_k²得化簡得2x²-15x-50=0，解得x=10或（舍），（11分）
所以5n+t=10，因而及．
又由常數(shù)t∈N^*，則舍去，
②若c_k+1是等比中項，則由c_k•c_k+2=c_k+1²得
化簡得x（x+10）=（x+5）²，顯然不成立．（16分）
③若c_k+2是等比中項，則由c_k•c_k+1=c_k+2²得
化簡得2x²-5x-100=0，因為△=5²+4×2×100=25×33不是完全不方數(shù)，因而x的值是無理數(shù)，顯然不成立．
則符合條件的k、t的值為．（18分）
點評：本題考查等差數(shù)列的證明方法、以遞減數(shù)列為載體求參數(shù)的最小值和利用分類討論思想在等比數(shù)列中的運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．