Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*
（Ⅰ）證明列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，n∈N^*．證明：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（Ⅲ）證明：

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

，n∈N^*．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=2，所以{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出an=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知條件得4b1+b2+…+bn-n=2nbn，從而得到2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，進(jìn)而得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，由此得到b_n+2+b_n=2b_n+1，從而證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
（Ⅲ）由

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

＜

1

2

，能證明

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

，n∈N*．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：因?yàn)?span id="6etqohf" class="MathJye">an+1=2an+1，n∈N*，
所以a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=2，
所以{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．…（2分）
∴an+1=2n，
∴an=2n-1，n∈N^*．…（3分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)?span id="hzqiogi" class="MathJye">4b1-14b2-1•…•4bn-1=(an+1)bn，
所以4b1+b2+…+bn-n=2nbn，…（4分）
所以2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1②…（6分）
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0④…（8分）
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即 b_n+2+b_n=2b_n+1
得b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，n∈N^*…（10分）
所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
（Ⅲ）證明因?yàn)?span id="k3m2ysg" class="MathJye">

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

＜

1

2

，k=1，2，…，n．…（11分）
所以

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

，n∈N*．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運(yùn)用．