Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）與（n+1）a_n+2=2（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）作差、整理可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，進(jìn)而利用累乘法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），
∴（n+1）a_n+2=2（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1），
兩式相減得：（n+1）a_n+2-na_n+1=2a_n+1，
整理得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{1}$，
又∵a₁=1，
a_n=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．