.(本小題滿分12分)
已知以函數(shù)f(x)=mx3-x的圖象上一點N(1,n)為切點的切線傾斜角為.
(1)求m、n的值;
(2)是否存在最小的正整數(shù)k,使得不等式f(x)≤k-1995,對于x∈[-1,3]恒成立?若存在,求出最小的正整數(shù)k,否則請說明理由.
解:(1)f′(x)=3mx2-1,
f′(1)=tan=1,
∴3m-1=1,∴m=.
從而由f(1)=-1=n,得n=-
∴m=,n=-.
(2)存在.
f′(x)=2x2-1=2(x+)(x-),
令f′(x)=0得x=±.
在[-1,3]中,當x∈[-1,-]時,
f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),
當x∈[-,]時,
f′(x)<0,f(x)為減函數(shù),
此時f(x)在x=-時取得極大值.
當x∈[,3]時,
此時f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),
比較f(-),f(3)知f(x)max=f(3)=15.
∴由f(x)≤k-1995,知15≤k-1995,
∴k≥2010,即存在最小的正整數(shù)k=2010,
使不等式在x∈[-1,3]上恒成立.
練習冊系列答案
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(Ⅲ)當時,若存在使得成立,求的取值范圍.

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(2)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)若對都有恒成立,求的取值范圍。

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(1)當時,求的極值點;
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,若,則=
A.B.C.D.

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