Question

（本題13分）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在滿足題意的P，且。

【解析】

試題分析：（1）由得，所以 ……………………………3分

（2）由外接圓圓心，半徑為 所以，解得

所以橢圓方程為         ……………………………6分

（3），設(shè)直線，設(shè)

聯(lián)立消y得

，    ……………………………7分

設(shè)的中點(diǎn)，，

由題意，，所以，（由已知）

化簡(jiǎn)得 ，        ……………………………11分

所以      

所以存在滿足題意的P，且。     ……………………………13分

考點(diǎn)：橢圓啊標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．