Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝1，

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若E是PC的中點(diǎn)，F是棱PD上一點(diǎn)，且BE∥平面ACF，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）．

【解析】

（1）根據(jù)，利用勾股定理得PA⊥AB，PA⊥AD，利用線面垂直的判定定理得到PA⊥平面ABCD，從而PA⊥BD，再根據(jù)ABCD為正方形，有AC⊥BD得證.

（2）連接ED，取ED的中點(diǎn)M，由三角形的中位線定理得BE∥OM，從而BE∥平面ACM，平面ACM與PD的交點(diǎn)即為F．然后建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面ACF，平面ACD的法向量，代入向量夾角公式求解.

（1）證明：∵，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BD．

又∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD，PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC．

（2）如圖，

連接ED，取ED的中點(diǎn)M，

設(shè)AC∩BD＝O，連接OM，則BE∥OM，

從而BE∥平面ACM，平面ACM與PD的交點(diǎn)即為F．

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，，

，

平面ACF即平面ACM，設(shè)其法向量為，

則即令x＝1，得，

易知平面ACD的一個(gè)法向量為，

∴，

因?yàn)槎�面�?/span>F﹣AC﹣D為銳二面角，

故所求余弦值為：．