橢圓E: +=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2,過F1作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦PQ,|PQ|為3.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),判斷是否存在直線l使得∠AF2B為鈍角,若存在,求出l的斜率k的取值范圍.


解:(1)依題意

解得a2=4,b2=3,

∴橢圓的方程為+=1.

(2)①當(dāng)過F1的直線AB的斜率不存在時(shí),

不妨取A（-1,）,B（-1,-）

則·=,顯然∠AF2B不為鈍角.

②直線l的斜率為k,l方程為y=k(x+1),

由

消去y,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.

∵直線l與橢圓交于兩點(diǎn),

∴Δ=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=4×36(k2+1)>0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2=-,x1·x2=.

=(x1-1,y1), =(x2-1,y2).

∵∠AF2B為鈍角,

∴·<0.

即(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,

整理得(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1<0.

即(k2+1)·-(k2-1)·+k2+1<0,

整理得7k2<9,

解得-<k<.

∴存在滿足條件的直線l,

其斜率k的取值范圍為-<k<.


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已知雙曲線C: -=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程

為(　　)

(A) -=1  (B) -=1

(C) -=1  (D) -=1

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(1)求||最小值,并指出此時(shí)與,的夾角;

(2)是否存在兩定點(diǎn)F1,F2使|||-|||恒為常數(shù)k?若存在,指出常數(shù)k的值,若不存在,說明理由.

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設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若·+·=8,求k的值.

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已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓x2+2y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值是　　　　. 

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已知橢圓C1: +=1(a>b>0)與雙曲線C2:x2-=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn).若C1恰好將線段AB三等分,則(　　)

(A)a2=   (B)a2=13

(C)b2=    (D)b2=2

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2,在y軸上截得線段長(zhǎng)為2.

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已知總體的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為3,7，a，b,12,20，且總體的中位數(shù)為12，若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則a＝________.

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