Question

14．已知a，b，m都是正數(shù)，并且a＜b，分別利用綜合法與分析法求證$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}$．

Answer 1

分析 （1）把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止；（2）根據(jù)分析法，可得綜合法．

解答 證明：（分析法）∵a，b，m∈R⁺，∴b，b+m∈R⁺
要證 $\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}$，
只需證b（a+m）＞a（b+m），
只需證ba+bm＞ab+am，
只需證bm＞am，
又m∈R⁺，
∴只需證b＞a，
由題設(shè)可知b＞a顯然成立，
∴$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}$得證．
（綜合法）：∵0＜a＜b，
∴m∈R⁺，
∴bm＞am，
∴ba+bm＞ab+am，
∴b（a+m）＞a（b+m），
∴$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用綜合法及分析法證明不等式，關(guān)鍵是掌握綜合法與分析法的原理、步驟及格式．