Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=a，且a_n+1=2S_n-2ⁿ-n²（n∈N^*）．
（1）若a₁，a₂，a₃-5成等比數(shù)列，求a的值．（2）求通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）題目給的條件是一個(gè)s_n與a_n同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)等式中的，要判斷所給的幾項(xiàng)成等比數(shù)列時(shí)字母系數(shù)的值，代入首項(xiàng)的值求出第二項(xiàng)和第三項(xiàng)結(jié)果，解方程求出．
（2）根據(jù)所給的等式，仿寫一個(gè)，兩式相減，把等式變成只有通項(xiàng)的形式，即條件變?yōu)閿?shù)列的遞推式，根據(jù)遞推關(guān)系得到通項(xiàng)．本題易出錯(cuò)的地方是數(shù)列的首項(xiàng)要檢驗(yàn)．
解答：解：（1）a₁=a，a₂=2S₁-2¹-1²=2a-3，
a₃-5=2（a₁+a₂）-2²-2²-5=6a-19，
∵a₁，a₂，a₃-5成等比數(shù)列，
∴（2a-3）²=a（6a-19），解得a=-1或a=．
（2）∵a_n+1=2S_n-2ⁿ-n²（n∈N^*），①
∴a_n=2S_n-1-2^n-1-（n-1）²（n≥2，n∈N^*），②
∴當(dāng)n≥2時(shí)，①-②得
a_n+1-a_n=2a_n-2^n-1-2n+1，
即a_n+1=3a_n-2^n-1-2n+1．
設(shè)a_n+1+p2ⁿ⁺¹+q（n+1）=3（a_n+p2ⁿ+qn），
由-4p+6p=-1，得p=-，
由3qn-q（n+1）=-2n+1，得q=-1．
故n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n-2^n-1-n}是以3為公比的等比數(shù)列．
∴
點(diǎn)評(píng)：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與 的關(guān)系．