Question

16．已知f（x）是二次函數(shù)，且f（-1）=4，f（0）=1，f（3）=4．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在[t，t+1]，t∈R上的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，由題意可得a，b，c的方程組，解方程組可得；
（2）由二次函數(shù)區(qū)間的最值，分類討論可得．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=a-b+c=4}\\{f（0）=c=1}\\{f（3）=9a+3b+c=4}\end{array}\right.$，
解方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）的解析式為f（x）=x²-2x+1；
（2）由（1）可得f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
當(dāng)t+1≤1即t≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=t+1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值f（t+1）=t²；
當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值f（t+1）=（t-1）²；
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，1]單調(diào)遞減，在[1，t+1]單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值f（1）=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式求解的待定系數(shù)法求，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值和分類討論的思想，屬中檔題．