Question

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且當a、b∈[-1，1]，a+b≠0時，有．
（1）證明：f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)；
（2）若f（x）≤m²+2am+1對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵，
即（2分）
∵x₁+（-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
則f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)． （5分）
（2）要使f（x）≤m²+2am+1對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只須f（x）_max≤m²+2am+1，即1≤m²+2am+1對任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²+2am≥0對任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m²，
只須，
解得m≤-2或m≥2或m=0，即為所求． （12分）
分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明：在區(qū)間[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件中的分式，可以證得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以
函數(shù)f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）≤m²+2am+1對所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，說明f（x）的最大值1小于或等于右邊，因此先將右邊看作a的函數(shù)，m為參數(shù)系數(shù)，解不等式組，即可得出m的取值范圍．
點評：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式恒成立等知識點，屬于中檔題，解題時應(yīng)該注意題中的主元與次元的處理．