Question

已知?jiǎng)訄AP與圓O₁：x²-4x+y²+3=0外切，與直線l：x=-1相切，動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）通過（1，0）的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AO，BO所在直線分別與直線y=x+4交于點(diǎn)E、F，求|EF|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）運(yùn)用兩圓相切和直線與圓相切的條件，以及拋物線的定義，即可求出曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：x=my+1，聯(lián)立拋物線方程和直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)E（x_E，y_E），
F（x_F，y_F），l_AO：y=

y1

x1

x，聯(lián)立y=x+4，求出|EF|=

2

|x_E-x_F|=16

2

|

4m2+2

8m-7

|，運(yùn)用換元和配方即可求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）圓O₁：x²-4x+y²+3=0即（x-2）²+y²=1，則圓心O₁（2，0），半徑為1．
由條件知點(diǎn)P到O₁的距離比到直線l：x=-1的距離大1，
故點(diǎn)P到O₁的距離與到直線x=-2的距離相等，
點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)₁（2，0）為焦點(diǎn)，x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y²=8x；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：x=my+1，聯(lián)立拋物線方程和直線方程，得到y(tǒng)²-8my-8=0，
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8，|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

64m2+32

，
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），l_AO：y=

y1

x1

x，聯(lián)立y=x+4，得到

y1

x1

x=x+4，即x=

4

y1 x1 -1

=

4y1

8-y1

，
即x_E=

4y1

8-y1

，同理x_F=

4y2

8-y2

，即有|EF|=

2

|x_E-x_F|=

2

|

4y1

8-y1

-

4y2

8-y2

|=
32

2

|

y1-y2

y1y2-8(y1+y2)+64

|=32

2

|

4 4m2+2

-8-64m+64

|=16

2

|

4m2+2

8m-7

|，
令t=8m-7，m=

t+7

8

，則上式=4

2

|

t2+14t+81

t

|=4

2

1+ 14 t + 81 t2

=4

2

( 9 t + 7 9 )2+ 32 81

≥4

2

×

4 2

9

=

32

9

，
當(dāng)t=-

81

7

，即8m-7=-

81

7

，m=-

4

7

時(shí)，|EF|_min=

32

9

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，主要是相切，考查拋物線的定義和方程，直線與拋物線聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及弦長公式，配方求最值，屬于中檔題．