Question

某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長(zhǎng)為米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長(zhǎng)為米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為元．假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為元．
（Ⅰ）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當(dāng)米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）當(dāng)座位個(gè)數(shù)為個(gè)

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意,相鄰的兩座位之間的弧長(zhǎng)為米,則可推出摩天輪的總座位數(shù),摩天輪的造價(jià)分成座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用和兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的費(fèi)用兩部分之和,即:,化簡(jiǎn)整理得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，又由題中所給至少有兩個(gè)座位可得;（Ⅱ）由米時(shí)，可對(duì)（Ⅰ）中的函數(shù)進(jìn)一步化簡(jiǎn)成關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)其特點(diǎn)可對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),之后令,求得對(duì)應(yīng)的值,從而求出函數(shù)最小值.
試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)摩天輪上總共有個(gè)座位，則，即，
，（3分）
定義域；                   （6分）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令
，
則，
∴，（11分）
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)增，
在時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為個(gè)． （16分）
考點(diǎn)：1.函數(shù)應(yīng)用題;2.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值