Question

（2007•深圳二模）在教材中，我們學(xué)過“經(jīng)過點P（x₀，y₀，z₀），法向量為

e

=(A，B，C)的平面的方程是：A（x-x₀）+B（y-y₀）+C（z-z₀）=0”．現(xiàn)在我們給出平面α的方程是x-y+z=1，平面β的方程是

x

6

-

y

3

-

z

6

=1，則由這兩平面所成的銳二面角的余弦值是（　�。�

• A．

  2

  3

• B．

  3

  3

• C．

  3

  9

• D．

  2 2

  3

Answer 1

分析：由定義可得：兩個平面的法向量分別為：

v

=（1，-1，1），

n

=（1，-2，-1），再利用向量的數(shù)量積公式可得兩個向量的夾角的余弦值，進(jìn)而根據(jù)向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系得到答案．

解答：解：由定義可得：平面x-y+z=1的法向量為

v

=（1，-1，1），平面

x

6

-

y

3

-

z

6

=1的法向量為

n

=（1，-2，-1），
所以兩個向量的夾角余弦值為：cos＜ 

v

，

n

＞=

v • n

| v || n |

=

2

3

，
所以平面所成的銳二面角的余弦值

2

3

．
故選A．

點評：本題主要考查由平面方程求平面的法向量，以及向量的數(shù)量積運算求兩個向量的夾角，此題屬于基礎(chǔ)題．