Question

13．直線y=x+b與雙曲線2x²-y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的值．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線和雙曲線的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積，由以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)得到x₁x₂+y₁y₂=0，代入后即可求得b的值．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，x²-2bx-1-b²=0．
∵直線y=x+b與雙曲線2x²-y=1相交于A，B兩點(diǎn)，
由△=（-2b）²+4（1+b²）=4+8b²＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=2b，x₁x₂=-1-b²．
所以y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=-1-b²+3b²=2b²-1，
因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
即為$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
即-1-b²+2b²-1=0，
解得b=±$\sqrt{2}$．
所以b的值是±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，是中檔題．