已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,過右焦點(diǎn)F且斜率為
2
的直線l交橢圓E于兩點(diǎn)A,B,若以原點(diǎn)為圓心,
6
3
為半徑的圓與直線l相切
(1)求焦點(diǎn)F的坐標(biāo);
(2)以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OACB中,頂點(diǎn)C也在橢圓E上,求橢圓E的方程.
(1)F(c,0),直線l的方程為y=
2
(x-c)

6
3
=
|
2
c|
3
,所以c=1,所以F(1,0);
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
由已知
OC
=
OA
+
OB
得:x3=x1+x2,y3=y1+y2
y=
2
(x-1)
b2x2+a2y2=a2b2
⇒(b2+2a2)x2-4a2x+2a2-a2b2=0
,
所以
x1+x2=
4a2
b2+2a2
y1+y2=
2
(x1+x2-2)=
-2
2
b2
b2+2a2
,即
x3=
4a2
b2+2a2
y3=
2
(x1+x2-2)=
-2
2
b2
b2+2a2

點(diǎn)C在橢圓上,所以
(
4a2
b2+2a2
)
2
a2
+
(
-2
2
b2
b2+2a2
)
2
b2
=1

整理得:16a2+8b2=(2a2+b22,
2a2+b2=8
a2=1+b2
a2=3
b2=2

所以橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

AB是過C:y2=4x焦點(diǎn)的弦,且|AB|=10,則AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(文科)一動(dòng)圓過定點(diǎn)P(0,1),且與定直線l:y=-1相切.
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程;
(2)若(1)中的軌跡上兩動(dòng)點(diǎn)記為A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.
①求證:直線AB過一定點(diǎn),并求該定點(diǎn)坐標(biāo);
②求|PA|+|PB|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的離心率為
2
3
3
,一條準(zhǔn)線方程為x=
3
2

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且
OA
OB
>2
(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為
3
2
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍;
(3)過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點(diǎn),設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d,試求d=1時(shí)a,b滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知斜率為1的直線l過橢圓
x2
4
+y2=1
的右焦點(diǎn)F2
(1)求直線l的方程;
(2)若l與橢圓交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn),求SF1AB

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

三角形ABC的兩頂點(diǎn)A(-2,0),B(0,-2),第三頂點(diǎn)C在拋物線y=x2+1上,求三角形ABC的重心G的軌跡.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上.若橢圓上的點(diǎn)A(1,
3
2
)
到焦點(diǎn)F1、F2的距離之和等于4.
(1)寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)Q(1,0)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M、N,當(dāng)△OMN的面積取得最大值時(shí),求直線MN的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知直線y=2x+b與曲線xy=2相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=5,則實(shí)數(shù)b的值是(  )
A.2B.-2C.±2D.4

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同步練習(xí)冊(cè)答案