Question

9．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，且點（-$\frac{π}{4}$，0）是它的一個對稱中心．
（1）求f（x）的表達(dá)式，并求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若f（ax）（a＞0）在（0，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的周期，得到ω，利用函數(shù)的對稱中心，求出φ，得到函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，列出不等式，即可求出a的最大值．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）由題意函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，且點（-$\frac{π}{4}$，0）是它的一個對稱中心，得f（x）的最小正周期為π，
∴T=$π=\frac{2π}{2ω}$∴ω=1．
∴函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+φ），
又點（-$\frac{π}{4}$，0）是它的一個對稱中心，
∴sin（2（$-\frac{π}{4}$）+φ）=0，
∵φ∈（0，π）∴φ=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2$\sqrt{3}$cos2x，
由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，k∈Z．
得$kπ+\frac{π}{2}≤x≤kπ+π$，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{2}，kπ+π]$，k∈Z．
（2）因為f（ax）=2$\sqrt{3}$cos2ax，
又f（ax）（a＞0）在（0，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴$\frac{π}{3}≤\frac{π}{2a}$，∴$a≤\frac{3}{2}$，
即a的最大值為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．