Question

在如圖的長(zhǎng)方體中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
（1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面ACD₁的距離；
（2）AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

Answer 1

分析：（1）分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，求出向量

AD1

，

AC

的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)E到平面ACD₁的距離為d，

n

=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，由法向量的性質(zhì)可求得向量

n

，則d=

| n • AE |

| n |

，利用向量運(yùn)算可得答案；
（2）設(shè)AE=l，由（1）知，E（1，l，0），易知平面ECD的法向量

m

=（0，0，1），設(shè)

n

=（x，y，z）是平面CED₁的法向量，由法向量的性質(zhì)可求得

n

，由cos

π

4

=

| m • n |

| m || n |

可得關(guān)于l的方程，解出即可；

解答：解：分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，
知E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
（1）

AD1

=（-1，0，1），

AC

=（-1，2，0），
設(shè)點(diǎn)E到平面ACD₁的距離為d，

n

=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
由

n • AD1 =0 n • AC =0

，得d

-x+z=0 -x+2y=0

，取

n

=（2，1，2），
而

AE

=（0，1，0），
所以d=

| n • AE |

| n |

=

1

3

為所求；
（2）設(shè)AE=l，由（1）知，E（1，l，0），設(shè)

n

=（x，y，z）是平面CED₁的法向量，

EC

=（-1，2-l，0），

CD1

=（0，-2，1），
而

n • EC =0 n • CD1 =0

，即

-x+(2-l)y=0 -2y+z=0

，取

n

=（2-l，1，2）
又平面ECD的法向量

m

=（0，0，1），
由cos

π

4

=

| m • n |

| m || n |

，即

2

2

=

2

(2-l)2+5

，
解得l=2-

3

，即AE=2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量求二面角、點(diǎn)到平面的距離，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力．