Question

如圖，直線 PQ與⊙O相切于點(diǎn) A，A B是⊙O的弦，∠P A B的平分線 AC交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)C B，并延長與直線 PQ相交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）求證：QC•BC=QC²-Q A²；
（Ⅱ）若 AQ=6，AC=5．求弦 A B的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由已知得∠BAC=∠CBA，從而AC=BC=5，由此利用切割線定理能證明QC•BC=QC²-QA²．
（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，從而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的長．

解答： （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 1
證明：（1）∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAC=∠CBA，
∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，
∴AC=BC=5，
由切割線定理得：
QA²=QB•QC=（QC-BC）•QC，
∴QC•BC=QC²-QA²．（5分）
（2）由AC=BC=5，AQ=6 及（1），知QC=9，
∵直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，
∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，
∴△QAB∽△QCA，
∴

AB

AC

=

QA

QC

，∴AB=

10

3

．（10分）

點(diǎn)評：本題考查等式的證明，考查與圓有關(guān)的線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理、弦切角定理的合理運(yùn)用．