【題目】已知橢圓的離心率為,傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點且與圓相切.

(1)求橢圓 的方程;

(2)若直線與圓相切于點,且交橢圓兩點,射線于橢圓交于點,設(shè)的面積于的面積分別為.

①求的最大值;

②當取得最大值時,求的值.

【答案】(1) ;(2).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)離心率為、圓心到直線距離等于半徑,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、 、,即可得橢圓 的方程;(2) 直線與圓相切得: ,將直線代入橢圓的方程得: ①根據(jù)點到直線距離公式、弦長公式結(jié)合韋達定理及三角形面積公式可得,利用基本不等式可得結(jié)果;②當取得最大值時, , .

試題解析:(1)依題直線的斜率.設(shè)直線的方程為,

依題有:

(2)由直線與圓相切得: .

設(shè).將直線代入橢圓的方程得:

,且.

設(shè)點到直線的距離為,故的面積為:

,

.等號成立.故的最大值為1.

設(shè),由直線與圓相切于點,可得,

.

.,

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形面積最值的.

練習冊系列答案
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(2)已知函數(shù),且,若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)當時,求函數(shù)上的最小值;

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3)若時,求函數(shù)上的最小值.

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設(shè),將表示為的函數(shù);

設(shè)),將表示為的函數(shù);

(2)請選用(1)問中的一個函數(shù)關(guān)系,求圓柱形罐子的最大體積.

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