【題目】(本題滿分15分)如圖,在半徑為的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD,其中點(diǎn)A、B在直徑上,點(diǎn)C、D在圓周上,將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),記圓柱形罐子的體積為.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式:
①設(shè),將表示為的函數(shù);
②設(shè)(),將表示為的函數(shù);
(2)請您選用(1)問中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求圓柱形罐子的最大體積.
【答案】(1)①,()
②,()
(2)
【解析】
試題(1)要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,根據(jù)題意構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,利用直角三角形 求底面圓的半徑 ,進(jìn)而列出函數(shù)關(guān)系式(2)求體積的最大值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值,先求導(dǎo),再判斷單調(diào)性,再求最值。
試題解析:解:(1)①,,
,() 4分
②,,
,() 8分
(2)選用:,,
令 ,則 10分
列表得:
單調(diào)增 | 極大值 | 單調(diào)減 |
(不列表,利用導(dǎo)函數(shù)的符號,判斷出單調(diào)性同樣得分)
選用:令,
,
令 ,則 10分
列表得:
單調(diào)增 | 極大值 | 單調(diào)減 |
,即 15分
(對直接求導(dǎo)求解也得分,)
答:圓柱形罐子的最大體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)且與圓相切.
(1)求橢圓 的方程;
(2)若直線與圓相切于點(diǎn),且交橢圓于兩點(diǎn),射線于橢圓交于點(diǎn),設(shè)的面積于的面積分別為.
①求的最大值;
②當(dāng)取得最大值時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為,離心率為,點(diǎn) 滿足條件.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),記和的面積分別為,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)=0時(shí),求實(shí)數(shù)的m值及曲線在點(diǎn)(1, )處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自治區(qū)有甲、乙兩位航模運(yùn)動員參加了國家隊(duì)集訓(xùn),現(xiàn)分別從他們在集訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次,記錄如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(I)畫出甲、乙兩位學(xué)生成績的莖葉圖,指出學(xué)生乙成績中的位數(shù);
(II)現(xiàn)要從中派一人參加國際比賽,從平均成績和方差的角度考慮,你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形, 平面, , 是上一點(diǎn),且.
(1)求證: 平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2) 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn), ,且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P 在橢圓上運(yùn)動, 的最大值為m, 的最小值為n,且m≥2n,則該橢圓的離心率的取值范圍為________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸的正半軸上,過焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),且,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線分別交準(zhǔn)線于點(diǎn),問:在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn),使,若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,試說明理由.
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