Question

【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.

（1）求證：；

（2）若對(duì)于任意，恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在，使，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）；

（3）或.

【解析】

（1）對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最小值，進(jìn)而證明不等式；

（2）由題意得，對(duì)分成三種情況討論，進(jìn)而利用參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的最值，從而得到的取值范圍；

（3）設(shè)，題設(shè)等價(jià)于函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的的取值范圍，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對(duì)分成三種情況進(jìn)行研究函數(shù)的零點(diǎn).

解：（1）令，得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在處取得最小值，因?yàn)?/span>，

所以.

（2）由題意，得，

當(dāng)，不等式顯然成立，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)時(shí)，，所以，

記，，

∴在區(qū)間和上為增函數(shù)，和上為減函數(shù).

∴當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

綜上所述的取值范圍為.

（3）設(shè)，題設(shè)等價(jià)于函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的的取值范圍.

當(dāng)，，恒成立，

所以在單調(diào)遞增，

，

若，則，

只需，則，則，

所以有零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，對(duì)恒成立，

所以無(wú)零點(diǎn)，不成立.

當(dāng)時(shí)，，得，

則時(shí)，所以在單調(diào)遞減；

時(shí)，所以在在單調(diào)遞增，

所以，

①時(shí)，，，

又，

所以有零點(diǎn)；

②時(shí)，，

所以有零點(diǎn)；

③時(shí)，，，

所以無(wú)零點(diǎn)，不成立.

綜上，的取值范圍是或.