【題目】已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),.
(1)求證:;
(2)若對于任意,恒成立,求的取值范圍;
(3)若存在,使,求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;
(2);
(3)或.
【解析】
(1)對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最小值,進(jìn)而證明不等式;
(2)由題意得,對分成三種情況討論,進(jìn)而利用參變分離,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的最值,從而得到的取值范圍;
(3)設(shè),題設(shè)等價于函數(shù)有零點(diǎn)時的的取值范圍,先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,再對分成三種情況進(jìn)行研究函數(shù)的零點(diǎn).
解:(1)令,得,
當(dāng)時,;當(dāng)時,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在處取得最小值,因?yàn)?/span>,
所以.
(2)由題意,得,
當(dāng),不等式顯然成立,此時;
當(dāng)時,,所以,
當(dāng)時,,所以,
記,,
∴在區(qū)間和上為增函數(shù),和上為減函數(shù).
∴當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
綜上所述的取值范圍為.
(3)設(shè),題設(shè)等價于函數(shù)有零點(diǎn)時的的取值范圍.
當(dāng),,恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
,
若,則,
只需,則,則,
所以有零點(diǎn).
當(dāng)時,,對恒成立,
所以無零點(diǎn),不成立.
當(dāng)時,,得,
則時,所以在單調(diào)遞減;
時,所以在在單調(diào)遞增,
所以,
①時,,,
又,
所以有零點(diǎn);
②時,,
所以有零點(diǎn);
③時,,,
所以無零點(diǎn),不成立.
綜上,的取值范圍是或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,若一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值介于90到120之間時,稱該產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.
(1)計(jì)算該工廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率.
(2)某用戶從該工廠購買了100件這種產(chǎn)品,記表示這100件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù),求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.
(3)必須從這工廠中購買多少件產(chǎn)品,才能使其中至少有1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率大于0.9?
①參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量),則,,.
②計(jì)算時,所有的小數(shù)都精確到小數(shù)點(diǎn)后4位,例如:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn),直線為雙曲線的一條漸近線.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn),交軸于點(diǎn)(點(diǎn)與的頂點(diǎn)不重合),當(dāng),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),為橢圓的左、右焦點(diǎn),動點(diǎn)的坐標(biāo)為,過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).
(3)求,的坐標(biāo);
(4)若直線,,的斜率之和為0,求的所有整數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知以為首項(xiàng)的數(shù)列滿足:
(1)當(dāng),時,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng),時,試用表示數(shù)列前100項(xiàng)的和;
(3)當(dāng)(是正整數(shù)),,正整數(shù)時,判斷數(shù)列,,,是否成等比數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)函數(shù),且對任意,都有,設(shè)為的導(dǎo)函數(shù),,則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)集由實(shí)數(shù)構(gòu)成,且滿足:若(且),則.
(1)若,試證明中還有另外兩個元素;
(2)集合是否為雙元素集合,并說明理由;
(3)若中元素個數(shù)不超過8個,所有元素的和為,且中有一個元素的平方等于所有元素的積,求集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于任意的,若數(shù)列同時滿足下列兩個條件,則稱數(shù)列具有“性質(zhì)m”:;存在實(shí)數(shù)M,使得成立.
數(shù)列、中,、(),判斷、是否具有“性質(zhì)m”;
若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,求證:數(shù)列具有“性質(zhì)m”;
數(shù)列的通項(xiàng)公式對于任意,數(shù)列具有“性質(zhì)m”,且對滿足條件的M的最小值,求整數(shù)t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在一次期末數(shù)學(xué)測試中,為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況,從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績,被測學(xué)生成績?nèi)拷橛?5分到145分之間(滿分150分),將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組:第一組,,第二組,,第八組,,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.
(1)求第七組的頻率,并完成頻率分布直方圖;
(2)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值);
(3)若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求他們的分差的絕對值小于10分的概率.
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