Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=-3n+21），其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）對任意實(shí)數(shù)λ，證明：數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）對于給定的實(shí)數(shù)λ，試求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，并求S_n．
（3）設(shè)0＜a＜b（a，b為給定的實(shí)常數(shù)），是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)?，使{a_n}是等比數(shù)列，由題意知（ ）²=² ，矛盾．所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（2）研究數(shù)列相鄰兩項(xiàng)，看相鄰項(xiàng)的關(guān)系，以確定數(shù)列b_n的性質(zhì)，然后求出其通項(xiàng)公式；最后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式并求S_n
（3）求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后根據(jù)形式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出其最值，則參數(shù)的范圍易知．
解答：證明：（1）假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)?，使{a_n}是等比數(shù)列，則有a₂²=a₁a₃，
即（）²=²，
矛盾．所以{a_n}不是等比數(shù)列．
（2）因?yàn)閎_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（a_n-2n+14）
=-（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-b_n
當(dāng)λ≠-18時(shí)，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴（n∈N⁺）．
故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列{b_n}是以-（λ+18）為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列．，
當(dāng)λ=-18時(shí)，b_n=0，S_n=0
（3）由（2）知，當(dāng)λ=-18，b_n=0，S_n=0，不滿足題目要求．
∴λ≠-18，
要使a＜S_n＜b對任意正整數(shù)n成立，
即a＜-（λ+18）•[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺）…①

當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1＜f（n），
∴f（n）的最大值為f（1）=，f（n）的最小值為f（2）=，
于是，由①式得a＜-（λ+18）＜．
當(dāng)a＜b≤3a時(shí)，由-b-18≥=-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；
當(dāng)b＞3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）．
點(diǎn)評：本題屬于數(shù)列綜合運(yùn)用題，考查了由所給的遞推關(guān)系證明數(shù)列的性質(zhì)，對所給的遞推關(guān)系進(jìn)行研究求數(shù)列的遞推公式以及利用數(shù)列的求和公式求其和，再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數(shù)的取值范圍，難度較大，綜合性很強(qiáng)，對答題者探究的意識與探究規(guī)律的能力要求較高，是一道能力型題．