Question

2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
（1）若漸近線與圓（x-2）²+y²=1想切，求雙曲線的離心率；
（2）若存在過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用漸近線與圓（x-2）²+y²=1相切，求出a，b的關(guān)系，從而求雙曲線的離心率；
（2）由題意，A在雙曲線的左支上，B在右支上，根據(jù)$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，可得3x₂-x₁=2c，結(jié)合坐標(biāo)的范圍，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：（1）雙曲線的漸近線的方程為bx±ay=0，
∵漸近線與圓（x-2）²+y²=1相切，
∴$\frac{2b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=1，
∴a=$\sqrt{3}$b，
∴c=2b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）由題意，A在雙曲線的左支上，B在右支上，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），右焦點(diǎn)F（c，0），則
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，∴c-x₁=3（c-x₂），
∴3x₂-x₁=2c
∵x₁≤-a，x₂≥a，
∴3x₂-x₁≥4a，
∴2c≥4a，
∴e=$\frac{c}{a}$≥2，
∴雙曲線離心率的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線、圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．