【題目】如圖所示,在直三棱柱中,,,其中為棱上的中點(diǎn),為棱上且位于點(diǎn)上方的動(dòng)點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)證明;(2)
【解析】
(1)推導(dǎo)出tan∠BB1C==,tan∠PBC==,從而∠BB1C=∠PBC,PB⊥B1C,推導(dǎo)出BB1⊥A1B1,A1B1⊥B1C1,從而A1B1⊥平面BCC1B1,A1B1⊥BP,由此能證明BP⊥平面A1B1C.
(2)以BC,BA,BB1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線BQ與平面A1B1C所成角的正弦值.
(1)證明:在側(cè)面中,因?yàn)?/span>,,為棱上的中點(diǎn),
所以,,
所以,所以,
在直三棱柱中,平面,
所以,
因?yàn)?/span>,,所以,
所以,
因?yàn)?/span>,所以平面,
所以,因?yàn)?/span>,所以平面;
(2)解:如圖,以,,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,為平面的一個(gè)法向量.
設(shè),則,,
設(shè)平面的法向量為,則,,
所以,
因?yàn)槠矫?/span>與平面所成的銳二面角的余弦值為,
所以,所以,解得,或,
由已知得,,所以,所以,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓C:的離心率為,其右焦點(diǎn)到橢圓C外一點(diǎn)的距離為,不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的長(zhǎng)度為2.
1求橢圓C的方程;
2求面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合, .
(1)當(dāng)m=4時(shí),求, ;
(2)若,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=+lg(3x)的定義域?yàn)镸.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)當(dāng)x∈M時(shí),求g(x)=4x-2x+1+2的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有7位歌手(1至7號(hào))參加一場(chǎng)歌唱比賽, 由550名大眾評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)投票決定歌手名次, 根據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為5組, 各組的人數(shù)如下:
組別 | A | B | C | D | E |
人數(shù) | 50 | 100 | 200 | 150 | 50 |
(Ⅰ) 為了調(diào)查大眾評(píng)委對(duì)7位歌手的支持狀況, 現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評(píng)委, 其中從B組中抽取了6人. 請(qǐng)將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.
組別 | A | B | C | D | E | |
人數(shù) | 50 | 100 | 200 | 150 | 50 | |
抽取人數(shù) | 6 |
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個(gè)年度未發(fā)生責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)購(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一輛普通6座以下私家車在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率;
(2)某二手車銷售商專門(mén)銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車,假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事用戶車盈利10000元,且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致,完成下列問(wèn)題:
①若該銷售商店內(nèi)有六輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選兩輛車,求這兩輛車恰好有一輛為事故車的概率;
②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)120輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和爸爸媽媽、爺爺奶奶一同參加《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》的現(xiàn)場(chǎng)錄制,5人坐成一排.若小 明的父母至少有一人與小明相鄰,則不同的坐法總數(shù)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),隨著汽車消費(fèi)水平的提高,二手車流通行業(yè)得到迅猛發(fā)展.某汽車交易市場(chǎng)對(duì)2017 年成交的二手車的交易前的使用時(shí)間(以下簡(jiǎn)稱“使用時(shí)間”)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到頻率分布直方圖如圖1.在圖1對(duì)使用時(shí)間的分組中,將使用時(shí)間落入各組的頻率視為概率.
(1)記“在2017年成交的二手車中隨機(jī)選取一輛,該車的使用年限在”,為事件,試估計(jì)的概率;
(2)根據(jù)該汽車交易市場(chǎng)的歷史資料,得到散點(diǎn)圖如圖,其中 (單位:年)表示二手車的使用時(shí)間,(單位:萬(wàn)元)表示相應(yīng)的二手車的平均交易價(jià)格.
由散點(diǎn)圖判斷,可采用作為二手車平均交易價(jià)格關(guān)于其使用年限的回歸方程,相關(guān)數(shù)據(jù)如下表(表中):
①根據(jù)回歸方程類型及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
②該汽車交易市場(chǎng)對(duì)使用8年以內(nèi)(含8年)的二手車收取成交價(jià)格的傭金,對(duì)使用時(shí)間8年以上(不含 8年)的二手車收取成交價(jià)格的傭金. 在圖1對(duì)使用時(shí)間的分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值.若以2017年的數(shù)據(jù)作為決策依據(jù),計(jì)算該汽車交易市場(chǎng)對(duì)成交的每輛車收取的平均傭金.
附注:①對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,;
②參考數(shù)據(jù):,.
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