Question

設(shè)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF|=3|BF|，則l的方程為（　�。�

• A．y=x-1或y=-x+1
• B．y=

  3

  3

  （x-1）或 y=-

  3

  3

  （x-1）
• C．y=

  3

  （x-1）或 y=-

  3

  （x-1）
• D．y=

  2

  2

  （x-1）或 y=-

  2

  2

  （x-1）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），由此設(shè)直線l方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)解消去x，得

k

4

y2-y-k=0．再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系和|AF|=3|BF|，建立關(guān)于y₁、y₂和k的方程組，解之可得k值，從而得到直線l的方程．

解答：解：∵拋物線C方程為y²=4x，可得它的焦點(diǎn)為F（1，0），
∴設(shè)直線l方程為y=k（x-1）
由

y=k(x-1) y2=4x

消去x，得

k

4

y2-y-k=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4…（*）
∵|AF|=3|BF|，
∴y₁+3y₂=0，可得y₁=-3y₂，代入（*）得-2y₂=

4

k

且-3y₂²=-4，
消去y₂得k²=3，解之得k=±

3

∴直線l方程為y=

3

（x-1）或y=-

3

（x-1）
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成1：3的兩部分，求直線AB的方程，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．