Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個零點x₁，x₂，則tan（x₁+x₂）的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 利用兩角和與差的正弦將f（x）化簡為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-m，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求對應(yīng)區(qū)間上f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-m的值域，結(jié)合題意可從而可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）-m
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-m，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個零點x₁，x₂，
∴正弦y=m與f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x在[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個交點，如圖：
∴x₁+x₂=$\frac{π}{3}$，
∴tan（x₁+x₂）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
故選：A．

點評 本題考查兩角和與差的正弦，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查函數(shù)的零點與半角三角函數(shù)，求得x₁+x₂是關(guān)鍵，屬于中檔題．