Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方與它到直線(xiàn)l：x=m（m是常數(shù)）的距離相等．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
（2）就m的不同取值討論方程C的圖形．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用條件寫(xiě)出方程，并化簡(jiǎn)．
（2）將軌跡方程變形化簡(jiǎn)，得到 （x+）²+y²=+m   或（x-）²+y²=-m，討論4+m 與 4-m 的值的符號(hào)，分同為正數(shù)、一個(gè)正數(shù)一個(gè)是0時(shí)方程各表示的曲線(xiàn)類(lèi)型．
解答：解：（1）因?yàn)樵�點(diǎn)為O（0，0），所以動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離為|PO|=，
于是動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足（）²=|m-x|，
∴x²+y²=|m-x|，此即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由x²+y²=|m-x|，兩邊平方，移項(xiàng)因式分解，
得  （x²+y²-m+x）（x²+y²+m-x）=0，
∴（x+）²+y²=+m   或（x-）²+y²=-m．

①當(dāng)+m＞0且-m＞0，即＜m＜時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩個(gè)圓．
一個(gè)圓的圓心是（，0），半徑為；    另一個(gè)圓的圓心是（，0），半徑為．
②當(dāng)m=或m=時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓和一個(gè)點(diǎn)．
③當(dāng)m＜或m＞時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，體現(xiàn)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．