Question

若直線l過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程得它的準(zhǔn)線為l'：x=-1，從而得到線段AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于3．過(guò)A、B分別作AC、BD與l'垂直，垂足分別為C、D，根據(jù)梯形中位線定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=6，結(jié)合拋物線定義即可算出AB的長(zhǎng)．

解答：解：∵拋物線方程為y²=4x，
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l'：x=-1
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（2，y₀），
則M到準(zhǔn)線的距離為：|MN|=2-（-1）=3，
過(guò)A、B分別作AC、BD與l'垂直，垂足分別為C、D
根據(jù)梯形中位線定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=6
再由拋物線的定義知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6．
即線段AB的長(zhǎng)為6

點(diǎn)評(píng)：本題給出過(guò)拋物線y²=4x焦點(diǎn)的一條弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求該弦的長(zhǎng)度．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．