Question

已知函數(shù)f（x）=（a，b為實(shí)數(shù)，且a＞1）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為1，最小值為-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-mx在區(qū)間[-2，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)判斷其單調(diào)性后可知f（-1）=-a，f（1）=2-a，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最大值為1，最小值為-2可得答案．
（2）先寫出函數(shù)g（x）的解析式，然后求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[-2，2]小于等于0恒成立即可得到答案．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-3ax，
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a，
∵a＞1，
∴f（x）在[-1，0]上為增函數(shù)，在[0，1]上為減函數(shù)．
∴f（0）=b=1，
∵f（-1）=-a，f（1）=2-a，
∴f（-1）＜f（1），
∴f（-1）=-a=-2，a=．
∴f（x）=x³-2x²+1．
（2）g（x）=x³-2x²-mx+1，g′（x）=3x²-4x-m．
由g（x）在[-2，2]上為減函數(shù)，知g′（x）≤0在x∈[-2，2]上恒成立．
∴，即
∴m≥20．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥20．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．