如圖,拋物線y=x2上有一點(diǎn)A(a,a2),a∈(0,1),過點(diǎn)A引拋物線的切線l分別交x軸與直線x=1于B,C兩點(diǎn),直線x=1交x軸于點(diǎn)D.
(1)求切線l的方程;
(2)求圖中陰影部分的面積S(a),并求a為何值時(shí),S(a)有最小值?
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得y′,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率,進(jìn)而得到切線的方程;
(2)利用切線的方程即可得出點(diǎn)B,C的坐標(biāo),再利用微積分基本定理即可得出陰影部分的面積S(a)=
1
0
x2dx-S△BCD
,再利用導(dǎo)數(shù)即可得出.
解答:解:(1)∵y=x2,∴y'=2x,
∴切線l的方程是y-a2=2a(x-a),即2ax-y-a2=0;
(2)由2ax-y-a2=0,令y=0,解得x=
a
2
,∴B(
a
2
,0)
;
令x=1,解得y=2a-a2;
|BD|=1-
a
2
,|CD|=2a-a2,
S△BCD=
1
2
|BD||CD|=
1
4
(a3-4a2+4a)

S(a)=
1
0
x2dx-S△BCD
=
1
3
-
1
4
(a3-4a2+4a)

S′(a)=-
1
4
(3a2-8a+4)
=-
1
4
(a-2)(3a-2)

令S'(a)=0,∵a∈(0,1),∴a=
2
3

當(dāng)a∈(0,
2
3
)
時(shí),S'(a)<0;
當(dāng)a∈(
2
3
,1)
時(shí),S'(a)>0.
a=
2
3
時(shí),S(a)有最小值.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、微積分基本定理、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,…,Pn-1,過這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線,與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1,Q2,…,Qn-1,從而得到n-1個(gè)直角三角形△Q1OP1,△Q2P1P2,…,△Qn-1Pn-2Pn-1.當(dāng)n→∞時(shí),這些三角形的面積之和的極限為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線y=x2第一象限部分上的一系列點(diǎn)Ai(i=1,2,3,…,n,…)與y正半軸上的點(diǎn)B1及原點(diǎn),構(gòu)成一系列正三角形AiBi-1Bi(記B0為O),記ai=|AiAi+1|.
(1)求a1,a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(3)求證:
1
a
2
1
+
1
a
2
2
+
1
a
2
n
+…+
1
a
2
n
9
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•西城區(qū)一模)如圖,拋物線y=-x2+9與x軸交于兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)C,D在拋物線上(點(diǎn)C在第一象限),CD∥AB.記|CD|=2x,梯形ABCD面積為S.
(Ⅰ)求面積S以x為自變量的函數(shù)式;
(Ⅱ)若
|CD||AB|
≤k
,其中k為常數(shù),且0<k<1,求S的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

14.如圖,拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,將線段OAn等分點(diǎn)從左至右依次記為P1,P2,…,Pn-1,過這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線,與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1,Q2,…,Qn-1,從而得到n-1個(gè)直角三角形

Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,當(dāng)n→∞時(shí),這些三角形的面積之和的極限為                  .



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